第1問 増減・極値・最大最小
問題：閉区間 [-4,-2] 上で f(x)=-2(x+3)^2-3 の最大値と最小値を求めよ。
模範解答
最大値は -3、最小値は -5。
解説
導関数は f'(x)=-4(x+3) で、頂点 x=-3 では f(-3)=-3。両端の値は f(-4)=f(-2)=-5。この2値を比較して最大値と最小値を決める。
一変数の微分法
導関数、高階微分、Taylor展開や極値を練習します。
微分係数の定義、積・商・合成関数の微分、関数の増減と極値などを練習します。
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第2問 指数・対数・三角関数の微分
問題：f(x)=x^2e^(-x) の導関数を求めよ。
模範解答
f'(x)=e^(-x)(2x-x^2)
解説
(x^2)'=2x、(e^(-x))'=-e^(-x)。積の微分則より f'(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=e^(-x)(2x-x^2)。
第3問 Rolle・平均値の定理の使い方
問題：f(x)=x^2-3x-2 について区間 [-3,2] の平均値の定理を満たす c を求めよ。
模範解答
-(1/2)
解説
割線の傾きは ((f(2)-f(-3))/5)=-4。一方、f'(c)=2c-3 なので両者を等置すると 2c=-1。従って c=-(1/2)。
第4問 高階導関数
問題：f(x)=x^3-4 の 1 階導関数を求めよ。
模範解答
3x^2
解説
1回微分するごとに指数を係数として掛ける。(x^3)^(1)=3x^2 なので、係数は 1· 3。従って f^(1)(x)=3x^2。
第5問 積・商・合成・逆関数の微分
問題：f(x)=((2x-4)/(x^2+1)) を微分せよ。
模範解答
f'(x)=((-2x^2+8x+2)/((x^2+1)^2))
解説
u=2x-4, u'=2, v=x^2+1, v'=2x とする。商の微分則から f'(x)=((u'v-uv')/v^2)=((2(x^2+1)-(2x-4)·2x)/((x^2+1)^2))。分子を整理すると 2(x^2+1)-(2x-4)·2x=-2x^2+8x+2 なので、f'(x)=((-2x^2+8x+2)/((x^2+1)^2))。
第6問 Taylor多項式・剰余の意味
問題：f(x)=sin(-4x) の原点における3次Taylor多項式を求めよ。
模範解答
-4x+(32/3)x^3
解説
f(0)=0, f'(0)=-4, f''(0)=0, f^(3)(0)=64。したがって T_3(x)=-4x+(32/3)x^3。
第7問 凹凸・変曲点・関数グラフの読解
問題：f(x)=-(x-1)^3+2 の変曲点の横座標と、上に凸・下に凸となる区間を求めよ。
模範解答
x=1 で変曲し、下に凸は x<1、上に凸は x>1。
解説
f'(x)=-3(x-1)^2、f''(x)=-6(x-1)。x=1 を境に二階導関数が負から正（または正から負）へ変わるので、そこで変曲する。
第8問 微分係数・導関数の定義
問題：f(x)=-2x^2+x+3 の x=-1 における微分係数を、差分商の極限で求めよ。
模範解答
5
解説
f(t-1)-f(-1)=5t-2t^2 と展開できる。((f(t-1)-f(-1))/t)=((5t-2t^2)/t)=5-2t (t≠0)。ここで t→0 とすれば f'(-1)=lim_(t→0)(5-2t)=5。