第1問 広義積分と収束判定
問題：広義積分 ∫[0,1] x^(-(1/6)) dx の値を求めよ。
模範解答
(6/5)
解説
被積分関数は x=0 で定義されないため、下端を ε>0 に置き換える。∫[ε,1] x^(-(1/6)) dx=[(6/5)x^(5/6)]_ε^1=(6/5)(1-ε^(5/6))。(5/6)>0 なので ε→0^+ で右辺は (6/5) に収束する。
一変数の積分法
不定積分、定積分と応用を練習します。
不定積分、定積分、置換積分や部分積分などの基本的な積分計算を練習します。
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第2問 置換積分
問題：不定積分 ∫2x(x^2+5)^2 dx を求めよ。
模範解答
(((x^2+5)^3)/3)+C
解説
置換 u=x^2+5 により du=2x dx。従って ∫2x(x^2+5)^2 dx=∫u^2 du=(u^3/3)+C=(((x^2+5)^3)/3)+C。
第3問 基本的な有理・三角関数の積分
問題：不定積分 ∫(1/(x+2)) dx を求めよ（x>-2）。
模範解答
log(x+2)+C
解説
u=x+2, du=dx と置くと ∫(dx/(x+2))=∫(du/u)=log u+C=log(x+2)+C。
第4問 面積・回転体の体積などへの応用
問題：y=2x と x=0、x=4、y=0 で囲まれた三角形の面積を求めよ。
模範解答
16
解説
領域は x 軸より上にあるため S=∫[0,4] 2x dx=[((2x^2)/2)]_0^4=16。
第5問 部分積分
問題：不定積分 ∫xe^x dx を求めよ。
模範解答
e^x(x-1)+C
解説
u=x, dv=e^x dx とおくと du=dx, v=e^x。部分積分公式 ∫u dv=uv-∫v du に代入して ∫xe^x dx=xe^x-∫e^x dx=xe^x-e^x=e^x(x-1)+C。
第6問 原始関数と積分定数
問題：不定積分 ∫(4+x-x^2-2x^3) dx を求めよ。
模範解答
∫(4+x-x^2-2x^3) dx=4x+(1/2)x^2-(1/3)x^3-(1/2)x^4+C
解説
∫x^k dx=x^(k+1)/(k+1)+C を各項に適用する。∫(4+x-x^2-2x^3) dx=4x+(1/2)x^2-(1/3)x^3-(1/2)x^4+C。微分すると元の被積分関数に戻る。
第7問 定積分・微積分学の基本定理
問題：定積分 ∫[0,1] (2+2x+x^2) dx を求めよ。
模範解答
(10/3)
解説
項別に積分した原始関数を F(x)=2x+x^2+(1/3)x^3 とする。F(1)=(10/3), F(0)=0 なので ∫[0,1] (2+2x+x^2) dx=F(1)-F(0)=(10/3)。