第1問 全微分可能性・線形近似
問題：f(x,y)=x^2+xy+y^2 の点 (0,1) における一次近似を求めよ。
模範解答
f(x,y)≈ 1+x+2(y-1)
解説
f_x=2x+y, f_y=x+2y を求める。点 (0,1) では f=1, f_x=1, f_y=2。一次近似式 f(x,y)≈ f(h,j)+f_x(h,j)(x-h)+f_y(h,j)(y-j) に代入する。
多変数の微分法
偏導関数、勾配、全微分、極値を練習します。
偏導関数、全微分、勾配、2変数関数の極値などを練習します。
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第2問 多変数関数の極限と連続
問題：f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2) の原点での極限を調べよ。
模範解答
極限は存在しない
解説
経路 y=0 では (x^2)/(x^2)=1、経路 x=0 では (-y^2)/(y^2)=-1。値が異なるので極限は存在しない。
第3問 合成関数の連鎖律・Jacobi行列
問題：写像 F(x,y)=(4x-4y, -2x) のJacobi行列を求めよ。
模範解答
[[4, -4]; [-2, 0]]
解説
第1成分の偏微分は ∂_x F_1=4, ∂_y F_1=-4。第2成分は ∂_x F_2=-2, ∂_y F_2=0。これを行列に並べて J_F=[[4, -4]; [-2, 0]]。
第4問 偏導関数・高階偏導関数
問題：f(x,y)=2x^2-2xy-y^2 の偏導関数 ∂ f/∂ y を求めよ。
模範解答
-2x-2y
解説
x を定数として各項を微分する。((∂ f)/(∂ y))=-2x-2y。
第5問 制約付き極値・Lagrange乗数法
問題：制約 x^2+y^2=4 のもとで f(x,y)=3x+4y の最大値を求めよ。
模範解答
10
解説
Cauchy–Schwarzの不等式から f(x,y)=(3,4)·(x,y)≤√(9+16)√(x^2+y^2)=5·2=10。(x,y)=((6/5),(8/5)) は x^2+y^2=4 を満たし、等号が成立するためこれが最大値である。
第6問 方向微分・勾配・接平面
問題：曲面 z=x^2+y^2-2 の点 (0,-3,7) における接平面を求めよ。
模範解答
z=7-6(y+3)
解説
f_x=2x, f_y=2y なので f_x(0,-3)=0, f_y(0,-3)=-6。また f(0,-3)=7。接平面の公式 z=f(h,j)+f_x(h,j)(x-h)+f_y(h,j)(y-j) に代入する。
第7問 多変数Taylor多項式の初歩
問題：関数 f(x,y)=4x^2-2xy-y^2 を中心 (0,-1) の周りで2次Taylor展開せよ。
模範解答
f(u,v-1)=-1+2u+2v+4u^2-2uv-v^2
解説
f_x=8x-2y, f_y=-2x-2y。さらに f_xx=8, f_xy=-2, f_yy=-2。u=x, v=y+1 を代入した式の定数・一次・二次の係数を整理する。3次以上の剰余は0。
第8問 停留点・Hesse行列と極値
問題：関数 f(x,y)=x^2+4(y+4)^2-5 の全体での最小値を求めよ。
模範解答
-5
解説
f(x,y)+5=x^2+4(y+4)^2≥0。等号は (x,y)=(0,-4) で成り立つため、最小値は -5。