第1問 ε–δ・ε–Nの論証の基礎
問題：関数 f(x)=4x が任意の x_0∈ℝ で連続であることを ε-δ 論法により示せ。
模範解答
ε>0 に対して δ=ε/4 と置けば、|x-x_0|<δ から |f(x)-f(x_0)|=4|x-x_0|<ε。
解説
|f(x)-f(x_0)|=|4x-(4x_0)|=4|x-x_0|。任意の ε>0 に対して δ=ε/4 と選べば、|x-x_0|<δ のとき |f(x)-f(x_0)|<ε。
数列・関数の極限と連続
数列・関数の極限、連続性、標準極限を練習します。
数列の収束、関数の左右極限、連続性や基本的な極限公式を扱います。微分法の準備となる単元です。
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作問画面の初期設定（問題数：6問、難しさ：標準、再現用の番号（シード）：42、練習する項目：すべて選択）で生成される問題です。数式はテキスト表記にしています。
第2問 一変数関数の極限・左右極限
問題：lim_(x→0)((x(x+2))/x) を求めよ。
模範解答
2
解説
x≠0 では ((x(x+2))/x)=x+2。よって lim_(x→0)(x+2)=2。
第3問 数列の極限、収束・発散
問題：a_n=(-1)^n· 5 は収束するか。
模範解答
発散する
解説
部分列を考えると a_2k=5、a_(2k+1)=-5。二つの極限が異なるため収束しない。
第4問 標準極限と無限小の比較
問題：lim_(x→0)((1-cos(-2x))/x^2) を求めよ。
模範解答
2
解説
u=-2x と置く。((1-cos(-2x))/x^2)=2(((sin(u/2))/(u/2)))^2。括弧内が1に収束するので 2。
第5問 無限遠極限・漸近線
問題：f(x)=((-3x^2+3x-2)/(x+4)) の無限遠での斜漸近線を求めよ。
模範解答
y=-3x+15
解説
多項式の割り算で -3x^2+3x-2=(x+4)(-3x+15)-62。従って f(x)=-3x+15-(62/(x+4))。分数項は無限遠で0に近づく。
第6問 連続性と不連続点
問題：f(x)={ -2x+4 (x≠1); 1 (x=1) } は x=1 で連続か。
模範解答
不連続
解説
両側極限は lim_(x→1)f(x)=-2·1+4=2。関数値は f(1)=1。両者が異なるので不連続である。