第1問 ベクトル空間の公理・具体例
問題：集合 W={(x,y)∈ℝ^2 | -4x-3y=0} は ℝ^2 の部分空間か。
模範解答
部分空間である
解説
線形関数 F(x,y)=-4x-3y を考える。F(0,0)=0、F(u+v)=F(u)+F(v)、F(λ u)=λ F(u)。したがって F(u)=F(v)=0 なら和とスカラー倍も核に属し、部分空間である。
ベクトル空間・基底・線形写像
部分空間、基底、線形写像を練習します。
部分空間の判定、一次独立性、基底、次元、線形写像などを練習します。
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JavaScriptを使用しない場合の問題・模範解答・解説
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第2問 線形写像の定義と行列表現
問題：線形写像 T(x,y)=(-4x+4y,-4x+y) の標準基底に関する表現行列を求めよ。
模範解答
[[-4, 4]; [-4, 1]]
解説
T(1,0)=(-4,-4) と T(0,1)=(4,1) を求め、これらを順に列に並べると [[-4, 4]; [-4, 1]] となる。
第3問 部分空間・線形結合・生成空間
問題：ベクトル (4,1) は (1,0) の張る部分空間に属するか。
模範解答
属さない
解説
λ(1,0)=(4,1) と仮定すると第一成分から λ=4。第二成分は 0=1 を要求し矛盾する。
第4問 合成・逆写像・相似の基本
問題：線形写像 S,T:ℝ^2→ℝ^2 の標準基底に関する表現行列が、それぞれ B=[[1, 0]; [0, 1]], A=[[-1, 5]; [-2, -1]] であるとする。合成写像 T∘ S の標準基底に関する表現行列を求めよ。
模範解答
[[-1, 5]; [-2, -1]]
解説
ベクトル v に対し (T∘ S)(v)=T(S(v)) であり、S を先に適用する。標準基底での座標ベクトルを [v] と書くと、[S(v)]=B[v], [T(S(v))]=AB[v]。従って求める表現行列は積 AB である。各成分を行と列の内積で計算する。(1,1) 成分 =-1·1=-1、(1,2) 成分 =5·1=5、(2,1) 成分 =-2·1=-2、(2,2) 成分 =-1·1=-1。よって [[-1, 5]; [-2, -1]]。
第5問 座標表示・基底変換
問題：基底 B=((-3,0),(0,-4)) におけるベクトル v=(4,1) の座標を求めよ。
模範解答
(-(4/3),-(1/4))
解説
座標を (α,β) とおくと -3α=4, -4β=1。よって α=-(4/3), β=-(1/4)。
第6問 一次独立・基底・次元
問題：ベクトル v_1=[[3]; [4]], v_2=[[-2]; [-4]] は ℝ^2 の基底をなすか。
模範解答
基底をなす
解説
列ベクトルを並べた行列は A=[[3, -2]; [4, -4]]。det A=3·(-4)-(-2)·4=-4。行列式が零でないので列ベクトルは一次独立であり、2本で基底をなす。
第7問 核・像・次元定理
問題：行列 [[-1, 0]; [-3, -4]] の定める線形写像 T:ℝ^2→ℝ^2 の核の次元を求めよ。
模範解答
0
解説
初めの行列は [[-1, 0]; [-3, -4]] である。 1. R_1← -R_1 を行うと [[1, 0]; [-3, -4]]。 2. R_2← R_2+3R_1 を行うと [[1, 0]; [0, -4]]。 3. R_2← -(1/4)R_2 を行うと [[1, 0]; [0, 1]]。 よって階数は 2。次元定理 dimker T+rankT=dimℝ^2=2 により dimker T=2-2=0。