第1問 ベクトル・行列の記法、加法・スカラー倍・転置
問題：行列 A=[[-2, 4]; [3, 1]], B=[[1, -1]; [4, 3]] に対し A+B を求めよ。
模範解答
[[-1, 3]; [7, 4]]
解説
対応する成分をそれぞれ加える。[[-2, 4]; [3, 1]]+[[1, -1]; [4, 3]]=[[-1, 3]; [7, 4]]。
行列と連立一次方程式
行列計算、階数、一次方程式の解法を練習します。
行列演算、行基本変形、階数、連立一次方程式の解法などを練習します。
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第2問 行列積と単位行列
問題：A=[[1, 0]; [-1, -4]], B=[[-4, -2]; [0, 2]] の積 BA を計算せよ。
模範解答
[[-2, 8]; [-2, -8]]
解説
各成分を行と列の内積で計算する。(1,1) 成分 =-4·1-2·(-1)=-2、(1,2) 成分 =-2·(-4)=8、(2,1) 成分 =2·(-1)=-2、(2,2) 成分 =2·(-4)=-8。よって [[-2, 8]; [-2, -8]]。
第3問 逆行列と可逆性
問題：行列 A=[[-2, 2]; [-3, 0]] は逆行列をもつか。
模範解答
もつ
解説
det A=(-2)·0-2·(-3)=6。行列式が0でないので逆行列をもつ。
第4問 階数と解空間の基本性質
問題：行列 [[-1, -1]; [-4, 1]] の階数を求めよ。
模範解答
2
解説
初めの行列は [[-1, -1]; [-4, 1]] である。 1. R_1← -R_1 を行うと [[1, 1]; [-4, 1]]。 2. R_2← R_2+4R_1 を行うと [[1, 1]; [0, 5]]。 3. R_2← (1/5)R_2 を行うと [[1, 1]; [0, 1]]。 4. R_1← R_1-R_2 を行うと [[1, 0]; [0, 1]]。 非零行（ピボット）の数は 2 なので階数は 2。
第5問 行基本変形・簡約階段形
問題：行列 [[4, -4]; [8, -8]] の簡約階段形を求めよ。
模範解答
[[1, -1]; [0, 0]]
解説
初めの行列は [[4, -4]; [8, -8]] である。 1. R_1← (1/4)R_1 を行うと [[1, -1]; [8, -8]]。 2. R_2← R_2-8R_1 を行うと [[1, -1]; [0, 0]]。 これが簡約階段形 [[1, -1]; [0, 0]] である。
第6問 連立一次方程式の解法・解の個数
問題：連立一次方程式 [[-2, 0]; [-3, -1]][[x]; [y]]=[[4]; [7]] を解け。解を (x,y) の順に答えよ。
模範解答
(-2,-1)
解説
拡大係数行列に行基本変形を施す。初めの行列は [[-2, 0 | 4]; [-3, -1 | 7]] である。 1. R_1← -(1/2)R_1 を行うと [[1, 0 | -2]; [-3, -1 | 7]]。 2. R_2← R_2+3R_1 を行うと [[1, 0 | -2]; [0, -1 | 1]]。 3. R_2← -R_2 を行うと [[1, 0 | -2]; [0, 1 | -1]]。 最後の列から x=-2, y=-1 が分かる。
第7問 パラメータ付き連立方程式の場合分け
問題：連立方程式 tx+y=1, 2x+2y=3 を t=1 として解くとき、解は何個あるか。
模範解答
解がない
解説
初めの行列は [[1, 1 | 1]; [2, 2 | 3]] である。 1. R_2← R_2-2R_1 を行うと [[1, 1 | 1]; [0, 0 | 1]]。 最後の行は 0=1 となるため矛盾し、解はない。