第1問 特性多項式・固有値
問題：行列 A=[[-2, 0]; [0, -1]] の固有値を重複を含めて求めよ。
模範解答
λ=-2,-1
解説
上三角行列なので det(λ I-A)=(λ+2)(λ+1)=0。したがって固有値は重複込みで λ=-2, -1。
固有値・対角化・二次形式
固有値、固有空間と二次形式を練習します。
固有値・固有ベクトルの計算、対角化、二次形式の基本を練習します。
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第2問 固有空間・対角化
問題：行列 A=[[3, 4]; [0, 5]] の対角化で現れる対角行列 D の一例を答えよ。
模範解答
[[3, 0]; [0, 5]]
解説
特性方程式は (λ-3)(λ-5)=0。λ=3 に対する固有ベクトルは (1,0)、λ=5 に対しては (4,2) が使える。P=[[1, 4]; [0, 2]] は行列式 2 が0でないため可逆。P^(-1)AP=[[3, 0]; [0, 5]]。
第3問 実対称行列の直交対角化・二次形式
問題：二次形式 Q(x,y)=x^2-y^2 は正定値か。
模範解答
正定値ではない
解説
Q(0,1)=-1 で負の値になる。
第4問 重複固有値と対角化可能性
問題：行列 A=[[1, 0]; [0, 1]] は実数上で対角化可能か。
模範解答
可能
解説
A=1I=[[1, 0]; [0, 1]] である。P=I とすれば P^(-1)AP=A は既に対角行列。