第1問 複素数係数の線形代数の基礎
問題：複素数上の行列 A=[[1, i]; [-i, 2]] はHermite行列か。
模範解答
Hermite行列である
解説
転置して複素共役を取ると A^*=[[1, i]; [-i, 2]]=A。従って Hermite 行列である。
内積空間と応用
内積、直交化、射影と最小二乗法を練習します。
内積、ノルム、直交化、正射影や最小二乗法などを練習します。
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第2問 正規直交基底・Gram–Schmidt法
問題：ベクトル u=(1,1)、v=(-2,-2) をGram–Schmidtの方法で直交化せよ。
模範解答
u_1=(1,1)、u_2=(0,0)。
解説
まず ⟨ v,u⟩=-2-2=-4、⟨ u,u⟩=1^2+1^2=2 である。射影は -2(1,1) だから、u_2=(-2,-2)+2(1,1)=(0,0)。この場合は零ベクトルとなり、元の2ベクトルは一次従属である。
第3問 直交射影・直交補空間
問題：u=(3,4) と w=(1,1) の直交射影の係数 ⟨ w,u⟩/⟨ u,u⟩ を求めよ。
模範解答
(7/25)
解説
分子は 1·3+1·4=7。分母は 3^2+4^2=25。従って係数は (7/25)=(7/25)。
第4問 内積・ノルム・角度
問題：ベクトル u=(2,-4), v=(-2,-3) の標準内積を求めよ。
模範解答
8
解説
各成分の積の和を取る。⟨ u,v⟩=2·(-2)-4·(-3)=8。
第5問 最小二乗法の基礎
問題：観測値 -4,3,1 に最小二乗で定数 c を当てはめよ。
模範解答
0
解説
誤差平方和 E(c)=(c+4)^2+(c-3)^2+(c-1)^2 を微分すると E'(c)=6c-2·0。E'(c)=0 から c=(0/3)=0。さらに E''(c)=6>0 なので最小値を与える。