第1問 反例・帰納法・直接証明の読み書き
問題：命題「任意の実数 x に対し x^2>x」が正しくないことを反例で示せ。
模範解答
反例として x=0 を取ると 0^2>0 は偽。
解説
x=0 を代入すると左辺 x^2=0、右辺 x=0 であり、0>0 は成り立たない。一つの反例で全称命題を否定できる。
集合・関数・数学の基礎
集合・関数・論理と証明の基礎を練習します。
集合の演算、関数の合成・逆関数、命題の扱い方など、微分積分や線形代数に進む前に押さえたい内容を練習します。
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第2問 絶対値・不等式・基本の代数操作
問題：方程式 |x-2|=2 の実数解をすべて求めよ。
模範解答
x=0,4
解説
x-2=2 または x-2=-2。これを解くと x=4, x=0（同じ解は一つに数える）。
第3問 関数の定義域・値域・合成・逆関数
問題：f(x)=4x^2 の定義域が ℝ のとき、定義域と値域を求めよ。
模範解答
定義域は ℝ、値域は [0,∞)。
解説
x^2≥0 であり、x=0 のとき 0 となる。従って f(x)≥0 で 0 が最小値。関数はすべての実数で定義される。
第4問 集合・区間・命題・量化と否定
問題：命題「すべての x∈{1,2,3} に対し、ある y∈{-1,0,1} が存在して x+y≥ 2」は真か偽か。
模範解答
真
解説
条件が最も厳しいのは x=1 の場合であり、y≤1 なので x+y≤1+1=2。従って y=1 を選べば、どの x=1,2,3 にも x+y≥2 が成り立つ。