第1問 等比・望遠和等の級数の和
問題：無限等比級数 Σ[k=1..∞] ((1/6))^k の和を求めよ。
模範解答
(1/5)
解説
初項・公比は r=(1/6)。|r|<1 なので Σ[k=1..∞] r^k=(r/(1-r))=(((1/6))/(1-(1/6)))=(1/5)。
無限級数と冪級数
数列、級数、冪級数の収束と和を練習します。
級数の収束・発散の判定、等比級数、冪級数の性質などを練習します。
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第2問 正項級数・交代級数の収束判定
問題：正項級数 Σ[n=1..∞] (1/n^4) は収束するか。
模範解答
収束する
解説
項は正であり、f(x)=x^(-4) は x≥1 で正・単調減少であるため、積分判定法が使える。∫[1,R] x^(-4) dx=((1-R^(-3))/3)。R→∞ で R^(-3)→0 だから、広義積分は (1/3) に収束する。従って級数も収束する。
第3問 冪級数の収束半径・収束区間
問題：冪級数 Σ[n=1..∞] (((x-3)^n)/(2^n n)) の収束区間を端点込みで求めよ。
模範解答
[1,5)
解説
比の絶対値 ((|x-3|)/2) が1未満の内部では絶対収束する。左端 x=1 では Σ[n=1..∞] (-1)^n/n に一致して収束する。右端 x=5 では Σ[n=1..∞] 1/n となり発散する。
第4問 漸化式・単調性・有界性
問題：数列 a_1=5, a_(n+1)=2a_n の一般項を求めよ。
模範解答
a_n=5·2^(n-1)
解説
漸化式を繰り返すと a_2=2·5, a_3=2^2·5。従って a_n=a_1·2^(n-1)=5·2^(n-1)。
第5問 Taylor級数と近似誤差の基礎
問題：log(1+x) の原点における3次Taylor多項式を求めよ。
模範解答
x-(x^2/2)+(x^3/3)
解説
f'(x)=(1+x)^(-1)=1-x+x^2+O(x^3)。原点から項別に積分して f(x)=x-(x^2/2)+(x^3/3)+O(x^4)。f(0)=0 より積分定数は0。