第1問 極座標と円板上の積分
問題：円板 D={x^2+y^2≤ 1} 上の ∬[D] (x^2+y^2) dx dy を求めよ。
模範解答
(1/2)π
解説
極座標では x^2+y^2=r^2、dx dy=r dr dθ。従って ∫[0,2π] ∫[0,1] r^3 dr dθ=∫[0,2π] (1/4) dθ=(1/2)π。
多変数の積分法
二重・三重積分、変数変換と体積を練習します。
二重積分の計算、積分領域の表現、積分順序の変更や変数変換などを練習します。
問題の設定
作問機能を使用するにはJavaScriptを有効にしてください。
JavaScriptを使用しない場合の問題・模範解答・解説
作問画面の初期設定（問題数：6問、難しさ：標準、再現用の番号（シード）：42、練習する項目：すべて選択）で生成される問題です。数式はテキスト表記にしています。
第2問 長方形領域の二重積分・逐次積分
問題：長方形 R=[0,2]×[0,3] 上の二重積分 ∬[R] xy dx dy を求めよ。
模範解答
9
解説
積分が分離できるので ∬[R] xy dx dy=(∫[0,2] x dx)(∫[0,3] y dy)。各因子を計算すると 1·2·(9/2)=9。
第3問 三重積分と基本的な立体領域
問題：直方体 B=[0,1]×[0,4]×[0,3] 上で ∭[B] 1 dz dy dx を求めよ。
模範解答
12
解説
領域 B は直方体なので、z、y、x の順に積分する。∫[0,1] ∫[0,4] ∫[0,3] 1 dz dy dx=1·3·4·1=12。
第4問 多変数の変数変換・Jacobian
問題：変換 (x,y)=(3u+v,3u+3v) のJacobianの絶対値を求めよ。
模範解答
6
解説
Jacobi行列は J=[[3, 1]; [3, 3]]。行列式を計算すると det J=3·3-1·3=6。絶対値は 6。
第5問 面積・体積などの重積分の応用
問題：長方形 0≤ x≤2, 0≤ y≤3 上で曲面 z=2+x+y の下（z=0 の上）の立体の体積を求めよ。
模範解答
27
解説
高さ z=2+x+y は領域上で正なので、体積は二重積分で求められる。V=∫[0,2] (∫[0,3] (2+x+y) dy)dx。まず ∫[0,3] (2+x+y) dy=[(2+x)y+(y^2/2)]_(y=0)^(y=3)=3(2+x)+(9/2)。次に V=∫[0,2] (3(2+x)+(9/2))dx=[(21/2)x+(3/2)x^2]_(x=0)^(x=2)=27。
第6問 積分領域の表示・積分順序交換
問題：領域 D={(x,y) | 0≤ y≤ x≤ 1} 上の二重積分 ∬[D] y dy dx を求めよ。
模範解答
(1/6)
解説
領域 D は 0≤ x≤ 1, 0≤ y≤ x と表せる。また、積分順序を交換すると 0≤ y≤ 1, y≤ x≤ 1 となる。 【先に y で積分する場合】 ∫[0,x] y dy=[(y^2/2)]_(y=0)^(y=x)=(x^2/2)。 ∬[D] y dy dx=∫[0,1] (x^2/2) dx=[(x^3/6)]_(x=0)^(x=1)=(1/6)。 【先に x で積分する場合】 ∫[y,1] y dx=[xy]_(x=y)^(x=1)=y-y^2。 ∬[D] y dx dy=∫[0,1] (y-y^2) dy=[(y^2/2)-(y^3/3)]_(y=0)^(y=1)。 (1/2)-(1/3)=(1/6)。 以上より、どちらの積分順序でも (1/6) となり、答えが一致する。