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近況

２０２０年
５月８日
投稿論文修正中。時間かかりそう。
英語の間違いなども含めて非常に丁寧なコメントをもらった。
最近、気分が停滞気味で研究も進まない。
とりあえずHaefligerのh-principleは大体理解できたと思う。
何か気分転換がしたい。

６月９日
亜群の幾何学的実現とか主束の分類空間とかについてまとめたいと思い、とりあえず勉強したことを更新してみた。
この辺りは圏論の言葉を使った方がわかりやすいと思う。
その先のことはあんまり考えていない。

６月２１日
勉強したことで亜群とホモトピーを更新と修正。
特異単体的集合と幾何学的実現は、随伴にならないと思ったら随伴だった。
また、幾何学的実現は性質Cを満たさないのでCW複体ではなかった。
h-principleについては、単体的集合の変種を用いて定式化できそうな気がする。
全面的に書き換えたいのでもうしばらく放置。
$\infty$-亜群とは単体的集合の圏のfibrant対象として定義することもできるらしい。
この視点では、特異単体的集合がホモトピー亜群そのものらしい。
一気に見通しが開けた気がする。

６月２５日
ホモトピー論を勉強する上で、Kan拡張の重要性を実感した。
手足のように使いこなせるようになりたい。
特異単体的集合と幾何学的実現の随伴関係も、Kan拡張と米田埋め込みの稠密性に関する一般的な性質を理解していれば当たり前らしい。
Haefligerのh-principleのEngel版を以前から考えていたが、こちらも少し見通しが立った。

７月７日
圏論の勉強ばかりしていた。内容は勉強したことの方に更新した。
また、亜群とホモトピーに参考文献を追加。
各点Kan拡張の基本的な命題の証明がよくわからなかったので、ファイバー圏の言葉で書き直した。
cofibrantly generatedなモデル圏の話をh-原理のpdfに追加した。
間違いは相変わらず放置。
この後、位相空間の圏と単体的集合の圏の間に二つのモデル圏を用意して、それら4つが全てQuillen同値になることを示したい。
これはcofibrantly generatedなモデル圏とKan拡張の一般論からすぐに言えるはずだが、準備が長いのでどうしたものかな。

７月７日
幾何学的実現はCW複体じゃないと思ったらCW複体だった。
こういうことはやっぱり文献を信用しないといけない。
勉強したことでh-原理のタイトルをホモトピー原理に変えた。
また、単体的集合とモデル圏の話題を別にした。
それにあたって亜群とホモトピーとホモトピー原理の内容で被る部分を削除した。

７月２７日
CW複体の定義がしっくりこない。
勉強したことの単体的集合のホモトピー論を更新。
モデル圏の基本的な性質については何も触れていないけど、とりあえず完成。